ff1588d761d55f48f61a52249e1dcc24

<!DOCTYPE html>

<title>Tangente</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Tangente</h1>

</header>

</div>

Eine Tangente (von <a href="Latein" title="Latein">lateinisch</a>: tangere ‚berühren‘) ist in der <a href="Geometrie" title="Geometrie">Geometrie</a> eine <a href="Gerade" title="Gerade">Gerade</a>, die eine gegebene <a href="Kurve_(Mathematik)" title="Kurve (Mathematik)">Kurve</a> in einem bestimmten <a href="Punkt_(Geometrie)" title="Punkt (Geometrie)">Punkt</a> <a href="Ber%C3%BChrung_(Mathematik)" title="Berührung (Mathematik)">berührt</a>. Beispielsweise ist die Schiene für das Rad eine Tangente, da der Auflagepunkt des Rades ein Berührungspunkt der beiden geometrischen Objekte, Gerade und Kreis, ist. Tangente und Kurve haben im Berührungspunkt die gleiche Richtung. Die Tangente ist in diesem Punkt die beste lineare <a href="Approximation" title="Approximation">Näherungsfunktion</a> für die Kurve.

Besonders einfach sind die Verhältnisse beim Kreis: Alle Geraden können bezüglich ihrer Lage zu einem Kreis unterschieden werden in <a href="Sekante" title="Sekante">Sekanten</a>, Tangenten und <a href="Passante" title="Passante">Passanten</a> – je nachdem, ob sie mit dem Kreis zwei Punkte, einen oder gar keinen Punkt gemeinsam haben. Die <a href="Kreistangente" title="Kreistangente">Kreistangente</a> berührt den Kreis also in genau einem Punkt. Sie steht dort senkrecht auf dem zu diesem Punkt gehörenden Berührungsradius.

Auch im allgemeinen Fall steht die Tangente senkrecht auf dem zum Berührungspunkt gehörenden Radius des <a href="Kr%C3%BCmmungskreis" title="Krümmungskreis">Krümmungskreises</a>, sofern dieser existiert. Sie kann aber mit der Ausgangskurve noch weitere Punkte gemeinsam haben. Ist ein weiterer Punkt (der Ausgangskurve oder einer anderen Kurve) ebenfalls Berührpunkt, so spricht man von einer Bitangente.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Tangente_in_der_Analysis">Tangente in der Analysis</h2></div>

Ist die gegebene Kurve der <a href="Funktionsgraph" title="Funktionsgraph">Graph</a> einer <a href="Reelle_Zahl" title="Reelle Zahl">reellen</a> <a href="Funktion_(Mathematik)" title="Funktion (Mathematik)">Funktion</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy">, dann ist die Tangente <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t}" loading="lazy"> im Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P(x_{0}|f(x_{0}))}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P(x_{0}|f(x_{0}))}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fe0935f383bb121286230b8ad00a079348b12fd6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.057ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle P(x_{0}|f(x_{0}))}" loading="lazy"> die Gerade, die dort die gleiche <a href="Steigung" title="Steigung">Steigung</a> wie die Kurve hat. Die Steigung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m_{t}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m_{t}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/15cd7daffb06c3fa7898e10fe16953895cb3a369.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.866ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle m_{t}}" loading="lazy"> der Tangente <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t}" loading="lazy"> ist also gleich der ersten <a href="Differentialrechnung" title="Differentialrechnung">Ableitung</a> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> an der Stelle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86f21d0e31751534cd6584264ecf864a6aa792cf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.384ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{0}}" loading="lazy">: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m_{t}=f'(x_{0})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m_{t}=f'(x_{0})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5b560a39d6f0637da6ba3a7e6850331912581eb7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.163ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle m_{t}=f'(x_{0})}" loading="lazy">. Die Gleichung der Tangente <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t}" loading="lazy"> ist somit:.<a href="#cite_note-Walz-1">[1]</a><a href="#cite_note-2">[2]</a>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y\,=\,f(x_{0})+f'(x_{0})\cdot (x-x_{0})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/99d24e5eaf5fdc9001922696f5a910a69a95d4a8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:29.581ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle y\,=\,f(x_{0})+f'(x_{0})\cdot (x-x_{0})}" loading="lazy"></dd></dl>

(siehe auch: <a href="Punktsteigungsform" title="Punktsteigungsform">Punktsteigungsform</a>).

Die Tangente entspricht der besten linearen <a href="Approximation" title="Approximation">Näherung</a> für die Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> an der Stelle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86f21d0e31751534cd6584264ecf864a6aa792cf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.384ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{0}}" loading="lazy">:

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)\,\approx \,f(x_{0})+f'(x_{0})\cdot (x-x_{0})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a434b0227abaec6406d9e09c0a3937ec3cd63693.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:32.843ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f(x)\,\approx \,f(x_{0})+f'(x_{0})\cdot (x-x_{0})}" loading="lazy"> für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\,\approx \,x_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\,\approx \,x_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c698b0763f2b7c7b18e80b3c9134a63722ee5d74.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.586ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x\,\approx \,x_{0}}" loading="lazy"></dd></dl>

Eine Tangente kann in der Regel nur existieren, wenn die zugrunde liegende Funktion an dieser Stelle <a href="Differenzierbarkeit" title="Differenzierbarkeit">differenzierbar</a> ist (vergleiche dazu aber auch <a href="#Synthetische_und_endliche_Geometrie">Tangenten in der endlichen Geometrie</a>).

Ein einfaches Gegenbeispiel:

Die <a href="Absoluter_Betrag" class="mw-redirect" title="Absoluter Betrag">Betragsfunktion</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\mapsto |x|}">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\mapsto |x|}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/04f7cb7bcc9c126b2d18614065cfeeb20f8e5514.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.567ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x\mapsto |x|}" loading="lazy"> ist an der Stelle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/953917eaf52f2e1baad54c8c9e3d6f9bb3710cdc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.591ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x=0}" loading="lazy"> nicht differenzierbar. Der zugehörige Funktionsgraph hat an dieser Stelle einen „Knick“, so dass es hier sinnlos ist, von der Tangente zu sprechen.

Ist eine Funktion an einer Stelle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86f21d0e31751534cd6584264ecf864a6aa792cf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.384ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{0}}" loading="lazy"> ihres Definitionsbereichs zwar nicht differenzierbar, strebt der Wert der Ableitungsfunktion für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\to x_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\to x_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9ffbf95eb25f9fae501b6beaf31d0728fba4c451.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.328ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\to x_{0}}" loading="lazy"> betragsmäßig jedoch gegen Unendlich, so hat der Funktionsgraph an dieser Stelle eine senkrechte Tangente (eine Parallele zur y-Achse, also keine <a href="Lineare_Funktion" title="Lineare Funktion">lineare Funktion</a>, als Tangente).<a href="#cite_note-Walz-1">[1]</a> Ein Beispiel hierfür ist die Funktion:

<mrow>

<mtr>

<mtd>

<mroot>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mroot>

</mrow>

</mtd>

<mtd>

<mtext>falls </mtext>

</mrow>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<mroot>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mroot>

</mrow>

</mtd>

<mtd>

<mtext>falls </mtext>

</mrow>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\sqrt[{3}]{x-2{,}5}}&{\text{falls }}2{,}5\leq x,\\-{\sqrt[{3}]{-(x-2{,}5)}}&{\text{falls }}x<2{,}5.\end{cases}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e7cffebbc2d98710ea5edc79fef0522707bbb822.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:40.066ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\sqrt[{3}]{x-2{,}5}}&{\text{falls }}2{,}5\leq x,\\-{\sqrt[{3}]{-(x-2{,}5)}}&{\text{falls }}x<2{,}5.\end{cases}}}" loading="lazy">

Diese ist zwar für alle reellen Zahlen definiert, aber an der Stelle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}=2{,}5}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}=2{,}5}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3617448beb6680878fef9bc00aa10acc72ce08b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.454ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x_{0}=2{,}5}" loading="lazy"> nicht differenzierbar. Dort liegt eine senkrechte Tangente vor.

Als Wendetangente bezeichnet man eine Tangente, die durch einen Wendepunkt einer Funktion verläuft. Dabei „durchdringt“ bzw. „durchsetzt“ sie den Funktionsgraphen, der von einer Halbebene (bezüglich der Tangente) in die andere Halbebene wechselt. Dennoch fasst man diesen Punkt als Berührpunkt und nicht als Schnittpunkt auf, da die Steigung von Funktion und Gerade übereinstimmen.<a href="#cite_note-3">[3]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Differentialgeometrie">Differentialgeometrie</h2></div>

Eine (reguläre) <a href="Kurve_(Mathematik)" title="Kurve (Mathematik)">Kurve</a> im <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c510b63578322050121fe966f2e5770bea43308d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.897ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}" loading="lazy"> sei durch eine auf dem reellen <a href="Intervall_(Mathematik)" title="Intervall (Mathematik)">Intervall</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [a,b]}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [a,b]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.555ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [a,b]}" loading="lazy"> definierte Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3949e127cdd1af020b06369df1a0b89d588f0fdf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.362ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{n}}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |\gamma '(t)|\neq 0}">

</mrow>

<msup>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\gamma '(t)|\neq 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4a334b5a184b8dab67ac89a1a372cc4701d674ee.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.168ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle |\gamma '(t)|\neq 0}" loading="lazy"> für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t\in [a,b]}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t\in [a,b]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b7f3050ace6dc0dd95250c418528da28eb477ffe.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.235ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle t\in [a,b]}" loading="lazy"> gegeben. Ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \gamma (t_{0})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \gamma (t_{0})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/60f376bcd0f40e5be4c3ad3fd226fab0d44673b9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.965ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \gamma (t_{0})}" loading="lazy"> (mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t_{0}\in [a,b]}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t_{0}\in [a,b]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/25c9abe498a595aa49b749c92b744e127800c140.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.289ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle t_{0}\in [a,b]}" loading="lazy">) ein Kurvenpunkt, so nennt man die erste Ableitung von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \gamma }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \gamma }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a223c880b0ce3da8f64ee33c4f0010beee400b1a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.262ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \gamma }" loading="lazy"> an der Stelle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/02d3006c4190b1939b04d9b9bb21006fb4e6fa4a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.894ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle t_{0}}" loading="lazy"> (also <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \gamma '(t_{0})}">

<msup>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \gamma '(t_{0})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1da260aec08309f78f0d7116fb04045888174d57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.668ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \gamma '(t_{0})}" loading="lazy">) einen Tangentialvektor. Eine Kurventangente in diesem Punkt ist eine Gerade durch den Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \gamma (t_{0})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \gamma (t_{0})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/60f376bcd0f40e5be4c3ad3fd226fab0d44673b9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.965ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \gamma (t_{0})}" loading="lazy">, die die gleiche Richtung wie der Tangentialvektor hat.<a href="#cite_note-Walz-1">[1]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Synthetische_und_endliche_Geometrie">Synthetische und endliche Geometrie</h2></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Quadratische_Menge" title="Quadratische Menge">Quadratische Menge</a></div>

In der <a href="Synthetische_Geometrie" title="Synthetische Geometrie">synthetischen Geometrie</a> und der <a href="Endliche_Geometrie" title="Endliche Geometrie">endlichen Geometrie</a> kann der Begriff „Tangente“ für geeignete Mengen allein mit Begriffen der Inzidenz, also ohne Differenzierbarkeitsvoraussetzungen definiert werden:<a href="#cite_note-Beutelspacher-4">[4]</a>

<ol><li>Für eine quadratische Menge, in einer <a href="Projektive_Ebene" title="Projektive Ebene">projektiven Ebene</a> ist eine Tangente eine Gerade, die mit dieser Menge genau einen Punkt gemeinsam hat oder ganz in ihr enthalten ist.</li>

<li>Mit dieser Definition existiert speziell für ein Oval in einer projektiven Ebene in jedem Punkt des Ovals genau eine Tangente. Keine Gerade hat mit dem Oval mehr als zwei Punkte gemein.</li>

<li><a href="Analytische_Geometrie" title="Analytische Geometrie">Analytisch</a> bedeutet dies für eine <a href="Projektive_Quadrik" title="Projektive Quadrik">projektive Quadrik</a> über einer <a href="Satz_von_Pappos" title="Satz von Pappos">papposschen projektiven Ebene</a>, die dem <a href="Fano-Axiom" title="Fano-Axiom">Fano-Axiom</a> genügt, dem wichtigsten Spezialfall einer quadratischen Menge: Eine projektive Gerade ist genau dann Tangente der Quadrik, wenn der Koeffizientenvektor der Geraden die homogene <a href="Quadratische_Gleichung" title="Quadratische Gleichung">quadratische Gleichung</a> erfüllt, die die Quadrik (als Punktmenge) definiert.</li></ol>

Der dritte Fall ist für die reelle <a href="Euklidische_Ebene" class="mw-redirect" title="Euklidische Ebene">euklidische Ebene</a>, wenn man sie als affinen Ausschnitt der reellen projektiven Ebene mit dem Standard<a href="Skalarprodukt" title="Skalarprodukt">skalarprodukt</a> ansieht, gleichbedeutend dazu, dass der <a href="Gradient_(Mathematik)" title="Gradient (Mathematik)">Gradient</a> der Funktionsgleichung, die die Quadrik definiert, in dem Punkt, in der die Gerade die Quadrik berührt, ein <a href="Normalenvektor" title="Normalenvektor">Normalenvektor</a> dieser Geraden ist. Insofern lässt sich ein, gegenüber dem reellen, durch Ableitung definierten verallgemeinerter, „algebraischer“ Tangentenbegriff auch durch formale Gradientenberechnung bilden.

Vergleiche hierzu auch die Abbildung in der Einleitung: Der mit dem Rechter-Winkel-Symbol gekennzeichnete Radius des Kreises stellt gleichzeitig die Richtung eines Normalenvektors der eingezeichneten Tangente und (vom Mittelpunkt zum Berührpunkt orientiert) die Richtung des Gradienten der Kreisgleichung in deren Berührpunkt dar.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Tangente_an_Parabel">Tangente an Parabel</h2></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Parabel_(Mathematik)" title="Parabel (Mathematik)">Parabel (Mathematik)</a></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Konstruktion">Konstruktion</h3></div>

/* start https://de.wikipedia.org/ */

.mw-parser-output .vl-mehrere-bilder{margin-top:.5em}.mw-parser-output .vl-mehrere-bilder-kopf{clear:both;font-weight:bold}.mw-parser-output .vl-mehrere-bilder-horizontal{float:left;padding:1px}@media screen{html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .vl-mehrere-bilder .thumbimage{background:none}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .vl-mehrere-bilder .thumbimage:not([style*="background"]) span:not([class]) img{background-color:var(--background-color-base-fixed,#ffffff);color:var(--color-base-fixed,#202122);filter:brightness(0.8)}}@media screen and (prefers-color-scheme:dark){html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .vl-mehrere-bilder .thumbimage{background:none}html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .vl-mehrere-bilder .thumbimage:not([style*="background"]) span:not([class]) img{background-color:var(--background-color-base-fixed,#ffffff);color:var(--color-base-fixed,#202122);filter:brightness(0.8)}}

/* end https://de.wikipedia.org/ */

</style><div class="thumb tright vl-mehrere-bilder" style="width:521px;"><div class="thumbinner"><div class="vl-mehrere-bilder-horizontal" style="width:254px;"><div class="thumbimage"></div><div class="thumbcaption">Bild 1, Konstruktion Tangente an Parabel mittels eines Kreises um Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}" loading="lazy"></div></div><div class="vl-mehrere-bilder-horizontal" style="width:253px;"><div class="thumbimage"></div><div class="thumbcaption">Bild 2, Nachweis, Tangente an Parabel mittels eines Kreises um Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}" loading="lazy"></div></div><div style="clear:both;"></div>

</div></div>

Es beginnt (Bild 1) mit dem Eintragen des Graphen, beispielsweise der Parabel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y={\tfrac {1}{4}}x^{2}}">

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y={\tfrac {1}{4}}x^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d38151f491e8c13ed3fa285fabac5e308032c51f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:8.296ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle y={\tfrac {1}{4}}x^{2}}" loading="lazy">, und dem Ziehen deren Symmetrieachse; Schnittpunkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}" loading="lazy"> ist der Scheitel der Parabel. Der Brennpunkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F=\left(0,{\tfrac {1}{4a}}\right)}">

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F=\left(0,{\tfrac {1}{4a}}\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a795ebee5ec77d597019298a4effd9d2d72e9212.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:12.339ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle F=\left(0,{\tfrac {1}{4a}}\right)}" loading="lazy"> wird mithilfe des Koeffizienten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a={\tfrac {1}{4}}}">

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a={\tfrac {1}{4}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5c83dfd65b5bba31815a828677d960fd81870d24.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:5.986ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle a={\tfrac {1}{4}}}" loading="lazy"> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{2}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cf0bf28fd28f45d07e1ceb909ce333c18c558c93.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.384ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle x^{2}}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {FS}}={\tfrac {1\cdot 4}{4\cdot 1}}=1}">

<mover>

<mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {FS}}={\tfrac {1\cdot 4}{4\cdot 1}}=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5f374cfd573d0efba84995e0fae9b3a4b05fd1b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:13.7ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle {\overline {FS}}={\tfrac {1\cdot 4}{4\cdot 1}}=1}" loading="lazy"> bestimmt. Es folgt der Kreis <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}" loading="lazy"> um <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}" loading="lazy"> mit Radius <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |PF|}">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |PF|}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/238724281e93db3e638cd7adefb4ca748680710a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.78ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |PF|}" loading="lazy">; Schnittpunkt ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> auf der Symmetrieachse der Parabel. Abschließend wird die Tangente <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t}" loading="lazy"> durch die Punkte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> gezogen.

Im Bild 2 ist verdeutlicht: Die Tangente <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t}" loading="lazy"> ist die Winkelhalbierende <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle w}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle w}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/88b1e0c8e1be5ebe69d18a8010676fa42d7961e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.664ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle w}" loading="lazy"> der beiden spitzen Winkel einer <a href="Raute" title="Raute">Raute</a>.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Nachweis">Nachweis</h3></div>

Der Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy"> ist – vereinfacht ausgedrückt – dann ein Punkt einer Parabel, wenn sein Abstand zur Leitlinie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |Pl|}">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |Pl|}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3d7c36d2d45f8cae6798b5e5f711d48ec4b7c31e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.732ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |Pl|}" loading="lazy"> gleich dem Abstand <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |PF|}">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |PF|}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/238724281e93db3e638cd7adefb4ca748680710a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.78ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |PF|}" loading="lazy"> zum Brennpunkt ist. Die Tangente ist somit die Winkelhalbierende <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle w}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle w}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/88b1e0c8e1be5ebe69d18a8010676fa42d7961e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.664ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle w}" loading="lazy"> der <a href="Winkel" title="Winkel">Winkelweite</a>, die von den Winkelschenkeln <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |Pl|}">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |Pl|}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3d7c36d2d45f8cae6798b5e5f711d48ec4b7c31e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.732ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |Pl|}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |PF|}">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |PF|}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/238724281e93db3e638cd7adefb4ca748680710a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.78ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |PF|}" loading="lazy"> eingeschlossen ist.<a href="#cite_note-5">[5]</a>

Das <a href="Lot" class="mw-disambig" title="Lot">Lot</a> (Bild 2) ab dem Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy"> auf die Leitlinie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle l}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle l}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/829091f745070b9eb97a80244129025440a1cfac.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.693ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle l}" loading="lazy">

und die Verbindung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}" loading="lazy"> bilden zusammen, wegen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |Pl|=|PF|=|FA|}">

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |Pl|=|PF|=|FA|}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3e57d0e682a99e86a458e1e3aff27a04ada9333c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.487ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |Pl|=|PF|=|FA|}" loading="lazy">, eine Raute. Somit ist die Gerade (rot) durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> die gesuchte Winkelhalbierende <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle w}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle w}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/88b1e0c8e1be5ebe69d18a8010676fa42d7961e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.664ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle w}" loading="lazy"> und deshalb auch die Tangente in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy">.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Tangente_an_Ellipse">Tangente an Ellipse</h2></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Ellipse" title="Ellipse">Ellipse</a></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Konstruktion_2">Konstruktion</h3></div>

Auf einer gegebenen Ellipse <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cd253103f0876afc68ebead27a5aa9867d927467.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle e}" loading="lazy"> mit den Brennpunkten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/100c7fbf174fe8b06eacc2a6b0bb2e1badd1c7ce.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.549ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle F_{1}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0fd17e0779153d765b40ebef91533489b87b2e37.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.549ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle F_{2}}" loading="lazy"> wird zuerst ein beliebiger Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy"> auf der Ellipse bestimmt. Eine <a href="Halbgerade" class="mw-redirect" title="Halbgerade">Halbgerade</a> ab dem Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0fd17e0779153d765b40ebef91533489b87b2e37.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.549ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle F_{2}}" loading="lazy"> durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy"> schließt sich an. Nach dem Verbinden des Punktes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/100c7fbf174fe8b06eacc2a6b0bb2e1badd1c7ce.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.549ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle F_{1}}" loading="lazy"> folgt ein Kreis <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/376315fd4983f01dada5ec2f7bebc48455b14a66.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.265ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle k_{1}}" loading="lazy"> um <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy"> mit dem Radius <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |PF_{1}|}">

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |PF_{1}|}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0ba28a59007de6b236b3443f8b3010da6b265c04.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.588ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |PF_{1}|}" loading="lazy">; Schnittpunkt mit der Halbgeraden ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F'}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9cb2068c9fcb933aa21d1cfd42103514f5276e73.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.499ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle F'}" loading="lazy">. Nun zieht man den Kreis <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c51b4ba57ee596d8435fc4ed76703ca3a2fc444a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.265ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle k_{2}}" loading="lazy"> um <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F'}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9cb2068c9fcb933aa21d1cfd42103514f5276e73.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.499ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle F'}" loading="lazy"> mit gleichem Radius und ebenso den Kreis <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k_{3}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k_{3}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/40d32e1c66b85257bfd6ad8be93186742d71a804.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.265ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle k_{3}}" loading="lazy"> um <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/100c7fbf174fe8b06eacc2a6b0bb2e1badd1c7ce.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.549ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle F_{1}}" loading="lazy">; dabei ergibt sich der Schnittpunkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy">. Abschließend wird eine Gerade (rot) – die gesuchte Tangente – durch die Punkte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy"> gezogen.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Nachweis_2">Nachweis</h3></div>

Der Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy"> ist – vereinfacht ausgedrückt – nur dann ein Punkt einer Ellipse, wenn die Gerade, die durch ihn geht, die Winkelhalbierende <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle w}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle w}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/88b1e0c8e1be5ebe69d18a8010676fa42d7961e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.664ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle w}" loading="lazy"> des Winkels <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{1},P,F'}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{1},P,F'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7fdd330c8927e121ef7c741c57bca4d819543053.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.862ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F_{1},P,F'}" loading="lazy"> ist.<a href="#cite_note-6">[6]</a>

Da die beiden Kreise <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c51b4ba57ee596d8435fc4ed76703ca3a2fc444a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.265ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle k_{2}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k_{3}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k_{3}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/40d32e1c66b85257bfd6ad8be93186742d71a804.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.265ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle k_{3}}" loading="lazy"> mit dem Schnittpunkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> den Winkel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{1},P,F'}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{1},P,F'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7fdd330c8927e121ef7c741c57bca4d819543053.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.862ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F_{1},P,F'}" loading="lazy"> halbieren, ist die Gerade (rot) eine Winkelhalbierende <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle w}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle w}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/88b1e0c8e1be5ebe69d18a8010676fa42d7961e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.664ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle w}" loading="lazy"> dieses Winkels und somit die Tangente im Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy">.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>

<ul><li><a href="Hyperbel_(Mathematik)#Tangente_als_Winkelhalbierende" title="Hyperbel (Mathematik)">Hyperbel, Tangente als Winkelhalbierende</a></li>

<li><a href="Differentialrechnung" title="Differentialrechnung">Differentialrechnung</a></li>

<li><a href="Kurvendiskussion" title="Kurvendiskussion">Kurvendiskussion</a></li>

<li><a href="Tangentialraum" title="Tangentialraum">Tangentialraum</a></li>

<li><a href="Subtangente" title="Subtangente">Subtangente</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>Tangente. In: Schülerduden – Mathematik I. Bibliographisches Institut & F.A. Brockhaus, 2008, ISBN 978-3-411-04208-1, S. 443–444.</li>

<li>Tangente. In: Schülerduden – Mathematik II. Bibliographisches Institut & F.A. Brockhaus, 2004, ISBN 3-411-04275-3, S. 393–394.</li>

<li>Guido Walz: Lexikon der Mathematik – Band 5. Springer, 2. Auflage 2017, ISBN 978-3-662-53505-9, S. 173–176 (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.spektrum.de/lexikon/mathematik/tangente/10227">online auf spektrum.de</a>)</li>

<li>Irl C. Bivens: What a Tangent Line Is When It Isn’t a Limit. In: The College Mathematics Journal. Band 17, Nr. 2, Mathematical Association of America, 1986, S. 133–43, (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.jstor.org/stable/2686832">JSTOR</a>)</li>

<li>Hugh Thurston: Tangents to Graphs. In: Mathematics Magazine. Band 61, Nr. 5, Mathematical Association of America, 1988, S. 292–94 (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.jstor.org/stable/2689546">JSTOR</a>)</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><a href="https://de.wiktionary.org/wiki/Tangente" class="extiw external" title="wikt:Tangente">Wiktionary: Tangente</a> – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen</div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><div class="noresize noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"></div><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Tangency?uselang=de">Commons: Tangency</a> – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien</div>

<ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.calculushowto.com/calculus-definitions/tangent-line-newtons-method/">Tangent Line: Definition, Formula & Newton’s Method</a></li>

<li><a href="Eric_Weisstein" title="Eric Weisstein">Eric W. Weisstein</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://mathworld.wolfram.com/TangentLine.html">Tangent Line.</a> In: <a href="MathWorld" title="MathWorld">MathWorld</a> (englisch).</li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://123mathe.de/tangente-und-normale">Tangente und Normale</a> auf 123mathe.de</li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Tangente">Tangente</a> auf zeno.org (Einträge in diversen älteren Lexika)</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-Walz-1">↑ <a href="#cite_ref-Walz_1-0">a</a> <a href="#cite_ref-Walz_1-1">b</a> <a href="#cite_ref-Walz_1-2">c</a> Guido Walz: Lexikon der Mathematik – Band 5. Springer, 2. Auflage 2017, ISBN 978-3-662-53505-9, S. 173–176 (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.spektrum.de/lexikon/mathematik/tangente/10227">online auf spektrum.de</a>)

</li>

<li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> Tangente. In: Schülerduden – Mathematik II. Bibliographisches Institut & F.A. Brockhaus, 2004, ISBN 3-411-04275-3, S. 393–394.

</li>

<li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> Wendetangente. In: Schülerduden – Mathematik II. Bibliographisches Institut & F.A. Brockhaus, 2004, ISBN 3-411-04275-3, S. 448.

</li>

<li id="cite_note-Beutelspacher-4"><a href="#cite_ref-Beutelspacher_4-0">↑</a> <a href="Albrecht_Beutelspacher" title="Albrecht Beutelspacher">Albrecht Beutelspacher</a>, Ute Rosenbaum: <cite style="font-style:italic">Projektive Geometrie</cite>. Von den Grundlagen bis zu den Anwendungen (= <cite style="font-style:italic">Vieweg Studium: Aufbaukurs Mathematik</cite>). 2., durchgesehene und erweiterte Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2004, ISBN 3-528-17241-X, 4 Quadratische Mengen (<a rel="nofollow" class="external text" href="http://d-nb.info/972794298/04">Inhaltsverzeichnis</a> [abgerufen am 31. Juli 2013]).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abookitem&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Tangente&rft.atitle=4+Quadratische+Mengen&rft.au=Albrecht+Beutelspacher%2C+Ute+Rosenbaum&rft.btitle=Projektive+Geometrie&rft.date=2004&rft.edition=2.%2C+durchgesehene+und+erweiterte&rft.genre=bookitem&rft.isbn=352817241X&rft.place=Wiesbaden&rft.pub=Vieweg&rft.series=Vieweg+Studium%3A+Aufbaukurs+Mathematik" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-5"><a href="#cite_ref-5">↑</a> Dieter Neßelmann: <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.math.uni-rostock.de/~vorkurs/archiv/Vorkurs_GeomLinAlg-2014.pdf#page=53&zoom=auto,-13,581">Tangente der Parabel.</a> Vorkurs Mathematik Teil: Geometrie und lineare Algebra. Universität Rostock, 24. Juni 2014, abgerufen am 19. Oktober 2023.<span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3ATangente&rft.title=Tangente+der+Parabel&rft.description=Tangente+der+Parabel&rft.identifier=http%3A%2F%2Fwww.math.uni-rostock.de%2F%7Evorkurs%2Farchiv%2FVorkurs_GeomLinAlg-2014.pdf%23page%3D53%26zoom%3Dauto%2C-13%2C581&rft.creator=Dieter+Ne%C3%9Felmann&rft.publisher=Universit%C3%A4t+Rostock&rft.date=2014-06-24">

</li>

<li id="cite_note-6"><a href="#cite_ref-6">↑</a> Peter Lesky: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.f08.uni-stuttgart.de/schulen/schuelerzirkel-mathematik/downloads/2020Kegelschnitte.pdf#page=68&zoom=auto,-278,844">5.2 Tangente in einem Ellipsenpunkt (mit Beweis).</a> Kegelschnitte. Universität Stuttgart, 2020, S. 67–68, abgerufen am 20. Oktober 2023.<span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3ATangente&rft.title=5.2+Tangente+in+einem+Ellipsenpunkt+%28mit+Beweis%29&rft.description=5.2+Tangente+in+einem+Ellipsenpunkt+%28mit+Beweis%29&rft.identifier=https%3A%2F%2Fwww.f08.uni-stuttgart.de%2Fschulen%2Fschuelerzirkel-mathematik%2Fdownloads%2F2020Kegelschnitte.pdf%23page%3D68%26zoom%3Dauto%2C-278%2C844&rft.creator=Peter+Lesky&rft.publisher=Universit%C3%A4t+Stuttgart&rft.date=2020">

</li>

</ol>

<div>

Normdaten (Sachbegriff): <a href="Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/7643634-2">7643634-2</a> </div>

</div></div></div><div><div class="zim-footer">

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